Cosme Damian Elgezabal Urrengoetxea 1877ko irailaren 27an jaio zen Bilbon.
Deustuko Unibertsitatean egin zituen filosofia eta letren ikasketak. Zuzenbidean dokotoregoa 1902an lortu zuen hurrengo tesiarekin: “Un punto de Derecho Politico en la Historia de Bizkaya. ¿En quién radicó la facultad suprema legislativa de Bizkaya?”.
Tesiaren edukiak zatika argitaratu zituen Sabino Aranak sortutako Euzkadi aldizkarian 1906-1907 artean. Halaber, Bilboko Udaleko zinegotzia izan zen 1903-1907 artean, EAJren izenean. Axpe-Martzaako Isidra Gorostitza Ortuetarekin ezkondu zen 1910ean Durangon.
1917ko hauteskundeetan jeltzaleak Bizkaiko Probintzia Diputazioan nagusitu zirenean, Elgezabal alderdiko kide gisa diputatu hautatu zuten, Ramon de la Sota alderdikidea Probintzia Diputazioko presidente zela. Elgezabalek, besteak beste, Heziketa Publikoaren Batzarrean parte hartu zuen.
1918ko urtarrilean Felix Landaburu eta Cosme Elgezabal diputatuek euskararen akademia sortzeko proposamena egin zuten. Arabako, Gipuzkoako eta Nafarroako Diputazioekin adostuta, Eusko Ikaskuntzaren 1918ko lehen biltzarrean Elgezabalek akademia eratzea eskatu ondoren, Euskaltzaindia sortzea erabaki zen.
Eusko Ikaskuntzaren zuzendaritzan Bizkaiko Probintzia Diputazioaren ordezkari izan zen 1918an, baina ordezkaritza utzi zuen jeltzaleek erakunde berrian behar adinako eragina ez zutelako. Durangoko Udalaren zinegotzi hautatu zuten 1920an eta herriko Ekintza Katolikoaren buru izan zen.
Euskaltzaindiaren lehen Euskalegunetan (1921) parte hartu zuen, eta hurrengo urtean euskaltzain urgazle izendatu zuten. Halaber, Eusko Ikaskuntzaren 1922ko biltzarrean euskararen aldeko elkarte bat sortu nahi izan zenean, Bizkaiko ordezkari izendatu zuten.
Alderdi jeltzalea zatitu zenean, Aberri ildo independentistako buruetako bat izan zen Bizkaian 1921-1930 artean. EAJ berriz bateratu ondoren, Autonomia Estatutuaren aldeko hautagai jeltzalea izan zen Espainiako Bigarren Errepublikaren hauteskunde orokorretan (1931).
Gerra Zibilean militar kolpezaleek Durango okupatu zutenean, lau hilabetez preso izan zuten. Ondoren agintari frankistek Palentziara deserritu zuten lau urtez. 1953ko uztailaren 20an hil zen Durangon.
Antton Ugarte